解y〃+1+(y′)^2=0

令y'=P(y)
y''=P'y'=P'P,代回原方程
P'P+1+P²=0
P'=-(1+P²)/P
dP/dy=-(1+P²)/P
[2P/(1+P²)]dP=-2dy
两边积分得
ln(1+P²)=-2y+lnC
1+P²=Ce^(-2y)
换回P=y'
1+(dy/dx)²=Ce^(-2y)
dy/dx=根号[Ce^(-2y)-1]
dy/根号[Ce^(-2y)-1]=dx
[e^y/根号[C-e^2y]]dy=dx
两边积分
arcsin[(e^y)/根号C]=x+D
sin(x+D)=(e^y)/根号C
解得
y=ln[(根号C)sin(x+D)],C,D是任意常数

没验算,不知道有没做错,你自己检查吧~~